Здравствуйте.
В Исламе родителей призывают к тому, чтобы они давали своим детям хорошие имена.
Наш Пророк صلى الله عليه وسلم сказал:
إنكم تدعون يوم القيامة بأسمائكم وأسماء آبائكم فأحسنوا أسماءكم
«Воистину, в Судный день вы будете призваны по вашим именем и именам ваших отцов, так делайте хорошими ваши имена».
Для этого родители, как минимум, должны знать, как эти имена правильно пишутся и что собой представляют.
В данном случае нужно записывать
Илария, потому что именно так оно пишется по-русски. Происходит это имя (и его мужской вариант Иларий и производное Ил(л)арион) от латинского слова hilaris - "веселый, радостный", которое было заимствовано от древнегреческого слова ἱλαρός (хиларос (иларос)) с таким же значением: "веселый, радостный".
Это типичное имя христиан, т.к. и в православных, и в католических святцах почитается несколько святых Илариев и Иларий.
Что касается муллы: по Исламу для того, чтобы дать ребенку имя, совсем не обязательно ходить к мулле (или звать его к себе домой). Достаточно просто для себя решить, как будут звать ребенка (равно как и нельзя перекладывать ответственность в имени на муллу и говорить, что раз он этим именем нарек - значит, мы, родители, тут ни при чем, даже если имя не особо хорошее).
В любом случае Вы должны понимать, что каждый ребенок - это аманат, данный нам Аллахом, и мы должны его беречь, воспитывать в лоне истинной религии, и Аллах спросит с нас за все наши действия. Поэтому Вам решать - давать ли ребенку христианское имя (что является нежелательным по Исламу - см.
фатву) или же выбрать одно из сотен и даже тысяч достойных мусульманских имен.